Por Marcio Luis Ferreira Nascimento
Ao comprar produtos numa feira ou mercado, ou qualquer outro estabelecimento, há um modo de pensar que quase sempre passa despercebido. Imagine que num determinado lugar vendem-se bananas e maçãs. Deseja-se comprar cinco bananas e três maçãs, sendo que cada banana custa um real e cada maçã, dois reais. Qual é o valor total da compra?
Pode-se efetuar o cálculo da seguinte forma: cinco bananas vezes um real mais três maçãs vezes dois reais, totalizando cinco mais seis, ou seja, onze reais.
O produto, ou multiplicação efetuado, é dito cruzado, ou ainda externo, onde os pares quantidade e preço são calculados separadamente para cada fruta, e depois somados. Credita-se tal proposição ao engenheiro civil e matemático francês Jacques Philippe Marie Binet (1786 – 1856) em relevante trabalho publicado em 1813.
Este tipo particular de cálculo recebe também um outro nome: produto matricial, pois consiste de multiplicações cruzadas por meio de um modo tabular. Estabelece-se que as quantidades são dispostas numa linha, e os preços, numa coluna. O resultado seria simplesmente o produto do primeiro elemento da linha, representando a quantidade de bananas, pelo primeiro da respectiva coluna, representando o preço da banana, somado ao produto do segundo elemento da linha, representado a quantidade de maçãs, pelo segundo elemento da coluna, representando o preço da maçã.
Ao se verificar o preço das mesmas quantidades em dois estabelecimentos diversos com preços diferentes, é possível observar esta mesma estrutura em forma de tabela. Novamente, desejamos comprar cinco bananas e três maçãs. Já sabemos os preços do primeiro estabelecimento. O do segundo seria mais caro: cada banana custa dois reais e cada maçã, quatro reais.
A comparação entre valores procede da mesma maneira: no primeiro estabelecimento, o valor do preço de cinco bananas vezes um real mais três maçãs vezes dois reais, totaliza cinco mais seis, ou seja, onze reais. Já no segundo estabelecimento, cinco bananas vezes dois reais mais três maçãs vezes quatro reais, totaliza dez mais doze, ou seja, vinte e dois reais. Tais resultados seriam dispostos numa linha de dois elementos, sendo que cada coluna representa um estabelecimento.
Dito de outro modo, o resultado do primeiro estabelecimento seria simplesmente o produto do primeiro elemento da linha, representando a quantidade de bananas, pelo primeiro elemento da primeira coluna, representando o preço da banana, somado ao produto do segundo elemento da linha, representado a quantidade de maçãs, pelo segundo elemento da primeira coluna, representando o preço da maçã. Em seguida, para se determinar o resultado do segundo estabelecimento, efetua-se o produto do primeiro elemento da linha, representando a quantidade de bananas, pelo primeiro elemento da segunda coluna, representando o preço da banana, somado ao produto do segundo elemento da linha, representado a quantidade de maçãs, pelo segundo elemento da segunda coluna, representando o preço da maçã.
O custo do resultado para o segundo mercado ou feira quando comparado ao primeiro leva o(a) consumidor(a) a se decidir por qual estabelecimento deverá adquirir os produtos. Fica também claro que o resultado do segundo estabelecimento é o dobro do primeiro por venderem itens com o preço dobrado (se não percebeu, verifique)! Grosso modo, é assim que qualquer um(a) procede ao realizar compras, comparando seus resultados.
Este procedimento, dito matricial, se deve à genial elaboração do advogado e matemático britânico Arthur Cayley (1821 – 1895) em 1858. Em termos bastante simplórios, toda matriz consiste num arranjo retangular de números (ou outros objetos matemáticos) com elementos ou entradas organizados em linhas e / ou colunas, satisfazendo geralmente certas propriedades de adição e multiplicação.
No exemplo mais simplista, a quantidade de frutas pode ser indicada por uma matriz tipo linha de tamanho um por dois, exemplificada pelas quantidades entre colchetes [5 3] enquanto notação simbólica com os dígitos espaçados, e que significa uma linha e duas colunas. Já os respectivos preços podem ser descritos por uma matriz coluna de tamanho dois por um, que pode ser representada por uma coluna e duas linhas.
Existem diversas aplicações matriciais que envolvem não somente a matemática, bem como outras ciências, sendo uma das mais impactantes na vida contemporânea seu uso em inteligência artificial bem como em aprendizado de máquina. Cada compra em cada estabelecimento pode ser assim efetuada, onde um primeiro cliente deseja adquirir cinco bananas e três maçãs, e um segundo, uma dúzia de bananas e meia dúzia de maçãs. O cruzamento de dados envolvendo diversas linhas e colunas podem apresentar padrões não apenas de consumo de bens, como ocorrem em meras compras e aquisições físicas ou mesmo virtuais visando facilitar a análise e observação, e que ainda podem servir a tomadas de decisões.
O matemático australo-americano Terence Chi-Shen Tao (n. 1975), laureado com a medalha Fields em 2006, o mais importante prêmio do mundo deste saber específico, afirmou certa vez que a matemática propõe uma certa maneira de estabelecer, encarar e resolver problemas. É uma representação da forma de pensar, da elaboração de um raciocínio, ou simplesmente uma maneira de tratar um problema qualquer de forma sistemática, dividindo-o em partes mais simples, trabalhando em etapas separadamente e depois juntando-as novamente. Isso é de certo modo mais eficaz em problemas quantitativos relativamente muito abstratos, mas também consiste numa habilidade bastante útil no mundo real. Pensar problemas de modo cruzado, como os feitos em feiras ou mesmo mercados, está tão próximo do dia a dia das pessoas que quase sempre passa desapercebido.
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Professor Titular da Escola Politécnica, Departamento de Engenharia Química da UFBA e pesquisador do SENAI-CIMATEC
